On the Stability and the Approximation of Branching Distribution Flows, with Applications to Nonlinear Multiple Target Filtering

We analyse the exponential stability properties of a class of measure-valued equations arising in nonlinear multi-target filtering problems. We also prove the uniform convergence properties w.r.t. the time parameter of a rather general class of stochastic filtering algorithms, including sequential Monte Carlo type models and mean field particle interpretation models. We illustrate these results in the context of the Bernoulli and the Probability Hypothesis Density filter, yielding what seems to be the first results of this kind in this subject. Mathematics Subject Classification: Primary: 93E11, 65C35, 37L15; Secondary: 60J85, 65C05, 65C35. Key-words: Measure-valued equations, nonlinear multi-target filtering, Bernoulli filter, Probability hypothesis density filter, interacting particle systems, particle filters, sequential Monte Carlo methods, exponential concentration inequalities, semigroup stability, functional contraction inequalities. ∗ Centre INRIA Bordeaux et Sud-Ouest & Institut de Mathématiques de Bordeaux , Université Bordeaux, 351 cours de la Libération 33405 Talence cedex, France, [email protected] † [email protected] ‡ [email protected] § Ba-Ngu Vo School of Electrical Electronic & Computer Engineering M018 The University of Western Australia, [email protected]. The work of B.-N. Vo is supported by Australian Research Council under the Future Fellowship FT0991854 in ria -0 05 16 50 7, v er si on 1 9 Se p 20 10 Sur la stabilité et l’approximation de flots de distribution de processus de branchements, avec applications au filtrage non linéaire multicibles Résumé : Nous analysons les propriétés de stabilité exponentielle d’une classe d’équations à valeurs mesures que l’on rencontre dans des problèmes de filtrage non-linéaire multicibles. Nous démontrons ensuite les propriétés de convergence uniforme, par rapport à l’horizon temporel considéré, d’une famille assez générale d’algorithmes de filtrage multicibles. Cette analyse s’applique notamment aux méthodes de type Monte Carlo séquentielles et aux algorithmes particulaires fondés sur l’évolution de systèmes de particules en interaction de type champ moyen. Nous illustrons ces résultats dans le cadre des filtres de Bernoulli et les filtres PHD (Probability Hypothesis Density). Ces résultats semblent être les premiers de ce type pour ces classes de modèles de filtrage stochastique multicibles. Mots-clés : Processus à valeurs mesures, filtrage non-linéaire multicibles, filtre de Bernoulli, filtre PHD (Probability hypothesis density), filtres particulaires, systèmes de particules en interaction, techniques de champ moyen, propriétés de concentration exponentielle, inégalités de contraction fonctionnelles. in ria -0 05 16 50 7, v er si on 1 9 Se p 20 10 Stability and Approximation of Branching Distribution Flows 3